假设检验中几个关键问题的进一步讨论

style · 发表于 2016-7-31 18:16:47

假设检验中几个关键问题的进一步讨论
大碗
阅读本文的前提：已经了解假设检验的基本原理和方法。
1.为什么第Ⅰ类错误和第Ⅱ类错误此消彼长？
这是每一本统计学课本都会提到的一个问题，至于为什么，此处仅以最基本的均值双侧检验为例来说明。我们看一下下面的图示，图中两个正态分布的横轴坐标是一一对应的。

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假设总体均值的真实值是μ1，也就是总体均值的抽样分布是下面正态分布（但很可惜，它到底是什么值我们是不知道的，如果知道了，假设检验也就没必要了）。我们给出的原假设是总体均值为μ0，也就是我们假设样本均值的抽样分布服从上面的正态分布。两侧的黄色区域面积之和是，也就是我们犯第Ⅰ类错误的概率。假设检验的依据就是看我们取到的样本均值是不是位于蓝色的区域中。如果样本均值位于蓝色区域，那么我们不能拒绝原假设，反之，拒绝原假设。好了，你可以先想想样本均值位于蓝色区域的概率是多少，想清楚了再往下看。
答案当然不是蓝色区域的面积。因为样本均值抽样分布所服从的真实分布是下面的正态分布。也就是说样本均值取到蓝色区域的概率是绿色区域的面积，也就是。可以看到，如果减小，也就是减小黄色区域的面积，那么绿色区域的面积，也就是，会增大，而也就是原假设错误却没有拒绝的概率，即第Ⅱ类错误的概率。从这里我们也可以看到有多大，我们无从得知。如果你想减小第Ⅱ类错误的概率，当然也就只能去增大。所以说，在样本量一定的情况下，两类错误就像跷跷板一样。
2.假设检验能否证明原假设正确与否？
假设检验的结论是以原假设正确为前提得到的。最终我们或者拒绝原假设，或者不拒绝原假设。
当不能拒绝原假设的时候，很多书做出的表述是“接受原假设”，另外一部分书给出的表述是“不拒绝原假设”。“不拒绝”和“接受”是不一样的，“接受”意味着你认为原假设是对的。但从前面的例子中已经看到，在我们不能拒绝原假设的时候，并没有足够的证据证明它对的，这只能说明我们已经获得的证据（即样本数据）不能证明它是假的。“不拒绝”表示我们得到的结论不明确。
比如，我假设我们公众号的读者平均年龄为21岁。从总体中抽出一个样本，得到均值为20.8，在的显著性水平下，样本提供的证据不能拒绝原假设；如果把原假设改为平均年龄为20.5岁，在同样的条件下，也不能拒绝原假设。如果使用“接受”二字，表示你认为两个假设都是正确的，或者说真实的，这显然是让人无所适从的。而且大家也都知道，总体均值我们是永远不知道的（除非做普查），既然我们都不知道总体均值到底是什么，怎么可能证明它是什么？或者说，证明它不是什么？
所以采用“不拒绝”的表达更为合理。而且，最终的结果也无法说明原假设正确与否。
3.“显著”的结论是不是有实际意义？
假设检验最后作出结论的时候，如果我们拒绝了原假设，我们通常会说“结论在统计上是显著的”。“显著”的含义是指这种结果的出现不是偶然的。比如，我们在显著性水平上拒绝原假设，是因为我们在0.05的小概率水平下竟然得到了这样的样本数据，说明这样的样本数据经常出现，不是偶然的，所以说检验的结论是显著的。
“显著”与“不显著”之间有清晰的界限么？0.049和0.051两个P值之间的差距有什么实际的意义？显然P值越小只代表我们的证据越强。但P值小于而拒绝原假设时，并不代表最终的结论有实际意义。“统计上显著”与“实际意义”之间不能画等号。P值的大小与样本的容量密切相关。比如在均值的双侧检验中，可以说，如果你想拒绝原假设，只要无限增加样本容量，拒绝任何原假设都是没问题的（除非你走运，原假设命中了真实值，但这种概率是0），在大样本情况下，与原假设的细微差别都能查出来，虽然这种差别并没有什么实际意义。
虽然很多人都认为“统计学就是个P”（足见P值在统计学中的地位），但读到这里你也许会发现，数据越来越“大”的背景下，再只使用P值做出判断并不是完美。至于统计学到底是不是P，各位聪明的读者找出它的定义仔细考虑一下吧，它远比大部分人想象的麻烦。
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