假设检验的两类错误分析

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原假设究竟是真实还是不真实，事实上是不知道的。在参数检验中，接受零假设仅仅由于它出现的可能性比较大，而拒绝原假设也仅仅由于它出现的可能性比较小。这样按概率大小所做的判断，并不能保证百分百的正确，不论是接受原假设还是拒绝原假设，都可能犯错，总是要承担一定的风险。所做的判断包括以下4种情况：
（1）原假设是真实的，而做出接受原假设的判断，这是正确的决定。
（2）原假设是不真实的，而做出拒绝原假设的判断，这是正确的决定。
（3）原假设是真实的，而做出拒绝原假设的判断，这是犯了第一类错误。
（4）原假设是不真实的，而做出接受原假设的判断，这是犯了第二类错误。
上述4种情况的内容可总结为下表。
真实情况        样本假设检验的结论
        拒绝H0        不拒绝H0
H0正确        第一类错误
犯错误的概率为α
即为显著水平        推断正确
正确结论的概率为1-α
1-α又称置信度
H0不正确        推断正确
正确结论的概率为1-β
1-β又称检验效能        第二类错误
犯错误的概率为β

在做检验决策的时候，当然希望所有真实的原假设都能得到接受，尽量避免真实的假设被拒绝，少犯或不犯第一类错误。也希望所有不真实的假设都被拒绝，尽量避免不真实的假设被接受，少犯或不犯第二类错误。因此需要对可能犯第一类错误和第二类错误的概率进行分析。
假设检验建立在小概率事件几乎不会发生的原理基础上，给定显著水平α，如果样本均值和总体均值的差异出现的概率等于或小于α，则认为此事件可能性很小，因此就拒绝原假设。但是这个差异的发生并不是完全不可能，而是有α的可能性存在。这就是说，有α的可能性发生原假设是真实的而被拒绝了，所以显著水平α实际上就是犯第一类错误的概率，α也称为拒真概率。犯第一类错误所引起的损失可能很大，例如，实际无效的药物而决定大批量生产等会造成很大的浪费。因此要根据实际需要对显著水平α加以控制。α定的越小，则犯第一类错误的可能性也越小，例如α=0.05，表示可以保证判断时犯第一类错误的可能性不超过5%；而当α=0.01时，表示可以保证判断时犯第一类错误的可能性不超过1%。但是第一类错误和第二类错误又是一对矛盾，在其他条件不变时，减少犯第一类错误的可能性，势必增加犯第二类错误的可能性，即产生原假设是不真实的而被接受的错误。设犯第二类错误的概率为β，则β称为存伪概率。犯第二类错误也可能引起很大的损失，例如把有显著效果的新药检验为无效果，以致不敢投入生产，是某种疾病蔓延，贻误治疗的最佳时机。要比较第一类错误和第二类错误的损失哪个更大，就要对不同情况做具体的分析，例如，新药的成本低廉，不妨冒犯第一类错误的风险，如果新药成本昂贵，就宁肯冒犯第二类错误的风险。
如果说β表示接受不真实的原假设的概率，那么1-β就是表示拒绝不真实的原假设的概率，1-β的值接近于1，表示不真实的原假设几乎都能够加以拒绝，反之，1-β接近于0，表示犯第二类错误的可能性是很大的，因此1-β是表明检验工作做得好坏的一个指标，称为检验功效。一般来说，检验功效与备择假设的真值与不真实的原假设距离有关，离原假设越远的检验功效也越高，但是由于备择假设的真值通常是不知道的，而且β的大小与显著水平α成反比变化，因此在假设检验时总是将冒第一类错误的风险概率固定下来，对所得的结果进行判断。
要同时减少第一类、第二类错误的概率，只有增加样本量，但在实际工作中，不可能无限增大样本容量，因而控制第一类错误便是更切实际的方法。因此，在这样的原则下，就可以主要控制犯第一类错误的概率α，即只分析原假设H0，并称这样的假设为显著性检验，称α为显著水平。
Ocean
2016-07-23


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