主成分分析与因子分析异同

amoyzz

    主成分分析（Principal components analysis，PCA）和因子分析（Factor Analysis，FA）联系紧密，因子分析是主成分的推广，相对于主成分分析，更倾向于描述原始变量之间的相关关系。在SPSS软件中又共用一个操作选项“分析——降维——因子分析”。其实二者的基本思想都是降维，所以很多人认为这两种分析没什么差别，也不会刻意去区分其异同。但其实二者之间还是有一些不同点的，小编最近根据自己的“用户体会”并结合之前课堂上的学习，整理成文供大家参考。
    1.线性表示含义不同：
主成分分析：“主成分”表示的是原始各变量的线性组合。
因子分析：把变量表示成各公因子的线性组合；
    2.假设条件不同：
主成分分析：不需要有假设；
因子分析：需要一些假设。KMO检验和Bartlett球形检验。
    3.求解方法不同：
（1）求解主成分的方法：
根据已知条件，从协方差阵或相关阵出发，采用的方法只有主成分法。（实际研究中，总体协方差阵与相关阵是未知的，必须通过样本数据来估计）；一般当变量单位相同或者变量在同一数量等级的情况下，可以直接采用协方差阵进行计算；
（2）求解因子载荷的方法：
主成分法，主轴因子法，极大似然法，最小二乘法，a因子提取法。
    4.主成分和因子是否可变：
主成分分析：当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值唯一时，主成分一般是固定的，不会改变；
因子分析：因子不是固定的，可以旋转得到不同的因子。
    5.因子数量与主成分的数量
主成分分析：主成分的数量是一定的，一般有几个变量就有几个主成分，实际应用时会根据碎石图提取前几个主要的主成分。
因子分析：因子个数需要分析者指定（在SPSS和SAS的应用中，可以自动设定个数，只要是特征值大于1的因子皆可进入分析）。指定的因子数量不同，结果也不同。
    6.解释重点不同：
主成分分析：重点在于解释变量的总方差；
因子分析：把重点放在解释各变量之间的协方差。 
    7.各自优点：
（1）主成分分析：
a.通过计算综合主成分函数得分，对客观经济现象进行科学评价；
b.它在应用上侧重于信息贡献影响力综合评价；
c.应用范围广，不限制数据类型，凡是涉及多维度问题，都可以应用主成分降维（其技术来源是矩阵运算的技术以及矩阵对角化和矩阵的谱分解技术）。
（2）因子分析：
a.因子分析中可以利用因子旋转，使得提取出来的因子得到更好的解释，所以在结果解释方面比主成分分析更占优势；
b.因子分析不是对原有变量的取舍，而是根据原始变量的信息进行重新组合，找出影响变量的共同因子进而化简数据。
   
    补充；主成分分析和因子分析都可以结合回归来继续进行分析，并且因子分析可以后接聚集分析。通过因子分析对大量的原始变量进行降维或分类，浓缩后确定少数几个综合维度，在此基础上进行聚类分析，这样效果较好。