生活中的统计学：“捉放法”推算

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来源：http://www.itongji.cn/article/0Q525V2013.html
华北某地的一个村庄，很多农户挖塘养鱼，总要先估算一下鱼塘里有多少鱼。假设某农户春季放了大约1万条鲤鱼苗，这些鱼苗不一定都成活。现在我们用“捉放法”来帮该农户估算一下，他的鱼塘中现有多少条鱼？

（配图来自百度图片）

做法是：先从鱼塘中捕出200条鱼，做上标记之后，再放回鱼塘，过几天后，再从鱼塘中捕出500条鱼，数一下其中有多少条标有记号。根据第2次捕出的鱼中有记号的鱼占捕出鱼数的比例，就可能估计全塘鱼的总数。



也许大家要问：这样做的依据是什么呢？下面我们来给出解答：上面叙述的全过程实际上是四步：捉——做标记——放——捉。我们不妨假定，两次捕捉，塘中鱼的总数不变，做标记的鱼在全部鱼中均匀分布；而且，第2次捕捉必须是随机的，也就是说，鱼塘中的每条鱼（不论是否做了记号）被捕捉到的可能性相同。



我们用n表示塘中鱼的总数，它是未知的，需要我们作出估计。用m表示第一次捕出的鱼数，即做记号的鱼数；用r表示第二次捕出的鱼数；用k表示第二次捕出的鱼中有记号的鱼数。m，r，k是可以观察到的，现在我们想通过观察到的m，r，k去估计未知的n。显然，m/n是做标记的鱼在总鱼数中所占的比例，在我们只知道做标记的鱼数而不知道鱼的总数时，无法得到m/n的值。也就是说，还缺乏信息。于是将做标记的鱼放回鱼塘，待它们与塘中的鱼混合均匀后，又进行了再次捕捉。这次捕捉，可以看作是从全塘鱼中随机抽取的一个样本，样本的大小是r。加上这次捕捉获取的信息，我们就可以作出对塘中鱼数n的估计。所依据的是统计学中用样本估计总体的思想。



前面说到，第2次捕捉是随机的，不论是有标记或无标记的鱼，被捕捉到的可能性相同。这样，在前面假设的前提下，应有

k/r=m/n



于是我们得到塘中鱼数n的估计为

n=mr/k



在估计农户鱼塘中鱼数的例子中，如果第二次捕出的500条鱼中做标记的鱼有12条,则鱼塘中鱼数的估计值是

n=200*500/12≈8333（条）



需要指出的是，用捉放法求得的塘中鱼数，是估计值而不是准确值。但方法的核心思想都离不开统计学的基本原理。为加深对捉放法的理解，读者可以设计一个简单的模拟试验：在一个杯子中放一些大小均匀的黄豆，再放入一些同样大小的青豆。这里青豆就相当于做了标记的鱼。两种豆子之和就是塘中鱼的总数。将杯中的所有豆子充分搅匀后，从中随机取出若干粒豆子，由青豆在取出的豆子中所占比例，进而估计杯子中全部的豆子数（鱼数）。

摘自：《漫游数据王国》之《欲擒故纵》
作者：魏振军

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