spss 正态性检验及转换

统计师315

spss 正态性检验及转换

严格说来，回答你的问题需要讲四个W：
What’s normal transformation?（什么是正态转换）
Why do we need normal transformation?（为何做正态转换）
When is normal transformation needed? （何时做正态转化）
How can we do normal transformation?（如何做正态转化）
我担心如果只讲How（如何做），也许有些初学者不分场合，误用滥用。但是，我同样担心如果从ABC讲起，难免过分啰嗦，甚至有藐视大家的智商之嫌。所幸者，我们已经进入Web 2.0年代，有关上述What, Why, When问题的答案网上唾手可得。如果对这些问题不甚了了的读者，强烈建议先到google上用“How to transform data to normal distribution”搜一下（或点击下面的“前10条”），前10条几乎每篇都是必读的经典。
有了上述交代，我们可以比较放心地来讨论如何做正态转化的问题了。具体来说，涉及以下几步：
第一步，查看原始变量的分布形状及其描述参数（Skewness和Kurtosis）。这可以用Frequencies中的Histogram或Examination中的BoxPlot，如：
有两个方法
1：
FREQUENCIES VAR = x / STATISTICS = SKEW, KURT / HISTOGRAM = NORMAL.
EXAMINE VAR = x / STATISTICS = SKEW, KURT / PLOT = BOXPLOT.
第二步，根据变量的分布形状，决定是否做转换。这里，主要是看一下两个问题：
左右是否对称，也就是看Skewness（偏差度）的取值。如果Skewness为0，则是完全对称（但罕见）；如果Skewness为正值，则说明该变量的分布为positively skewed（正偏态，见下图1b）；如果Skewness为负值，则说明该变量的分布为negatively skewed（负偏态，见图1a）。然而，肉眼直观检查，往往无法判断偏态的分布是否与对称的正态分布有“显著”差别，所以需要做显著性检验。如同其它统计显著性检验一样，Skewness的绝对值如大于其标准误差的1.96倍，就被认为是与正态分布有显著差别。如果检验结果显著，我们也许（注意这里我用的是“也许”一词）可以通过转换来达到或接近对称，但见注1中的说明。


峰态是否陡缓适度,也就是看Kurtosis（峰态）是否过分peaked（陡峭）或过分flat（平坦）。如果Kurtosis为0，则说明该变量分布的峰态正合适，不胖也不瘦（但罕见）；如果Kurtosis为正值，则说明该变量的分布峰态太陡峭（瘦高个，见图2b）；反之，如果Kurtosis为负值，该变量的分布峰态太平缓（矮胖子，见图2a）。峰态是否适度，更难直观看出，也需要通过显著检验。如同Skewness一样，Kurtosis的绝对值如果大于其标准误差的1.96倍，就被认为与正态分布有显著差别。这时，我们也许可以通过转换来达到或接近正态分布（峰态），但见注1中的说明。

图2a
2； analyze—nonparametric tests—1-sample K-S
    P >0.05,正太分布
图2b
第三步、如果需要做转化，还是根据变量的分布形状，确定相应的转换公式。最常见的情况是正偏态加上陡峰态。如果是中度偏态（如Skewness为其标准误差的2-3倍），可以考虑取根号值来转换，以下是SPSS的指令（其中”nx”是原始变量x的转换值，参见注2）：
COMPUTE nx = SQRT(x).
如果高度偏态（如Skewness为其标准误差的3倍以上），则可以取对数，其中又可分为自然对数和以10为基数的对数。如以下是转换自然对数的指令（注2）：
COMPUTE nx = LN(x).
以下是转换成以10为基数的对数（其纠偏力度最强，有时会矫枉过正，将正偏态转换成负偏态，注2）：
COMPUTE nx = LG10(x).
另外，在计量经济学中广泛使用Box-Cox转换方法，有些时间序列分析的专用软件中提供转换程序，但SPSS并不提供。虽也可以写syntax来做，但很复杂，在此不谈了。
上述公式只能减轻或消除变量的正偏态(positive skewed)，但如果不分青红皂白（即不仔细操作第一和第二步）地用于负偏态（negative skewed）的变量，则会使负偏态变得更加严重。如果第一步显示了负偏态的分布，则需要先对原始变量做reflection（反向转换），即将所有的值反过来，如将最大值变成最小值、最小值变成最大值、等等。如果一个变量的取值不多（如7-分量表），可用如下指令来反转：
RECODE x (1=7)(2=6)(3=5)(5=3)(6=2)(7=1).
如果变量的取值很多或有小数、分数，上述方法几乎不可能，则需要写如下的指令（不知大家现在是否信服了为什么要学syntax吗？）：
COMPUTE nx = max – x + 1.
其中max是x的最大值。
第四步、回到第一步，再次检验转换后变量的分布形状。如果没有解决问题，或者甚至恶化（如上述的从正偏态转成负偏态），需要再从第二或第三步重新做起，然后再回到第一步的检验，等等，直至达到比较令人满意的结果（见注3）。
注：
如同其它统计检验量一样，Skewness和Kurtosis的的标准误差也与样本量直接有关。具体说来，Skewness的标准误差约等于，而Kurtosis的标准误差约等于，其中n均为样本量。由此可见，样本量越大，标准误差越小，因此同样大小的Skewness和Kurtosis在大样本中越可能与正态分布有显著差别。这也许就是SW在问题中提到的“很多学科都在讲大样本不用太考虑正态分布问题”的由来。我的看法是，如果小样本的Skewness和Kurtosis是显著的话，一定要转换；在大样本的条件下，如果Skewness和Kurtosis是轻度偏差，也许不需要转换，但如果严重偏差，也是要转换。
大家知道，根号里的x不能为负数，对数或倒数里的x不能为非正数（即等于或小于0）。如果你的x中有是负数或非正数，需要将其做线性转换成非负数（即等于或大于0）或正数（大于0），如 COMPUTE nx = SQRT (x – min) 或 COMPUTE nx = LN (x – min + 1)，其中的min是x的最小值（为一个非正数）。
不是任何分布形态的变量都可以转换的。例外之一是“双峰”或“多峰”分布（distribution with dual or multiple modality），没有任何公式可以将之转换成单峰的正态分布。
ps 丁香园介绍的方法：
可以应用变量变换的方法,将不服从正态分布的资料转化为非正态分布或近似正态分布。常用的变量变换方法有对数变换、平方根变换、倒数变换、平方根反正玄变换等，应根据资料性质选择适当的变量变换方法。
1、对数变换 即将原始数据X的对数值作为新的分布数据：
X’=lgX
当原始数据中有小值及零时，亦可取X’=lg（X+1）
还可根据需要选用X’=lg（X+k）或X’=lg（k-X）
对数变换常用于（1）使服从对数正态分布的数据正态化。如环境中某些污染物的分布，人体中某些微量元素的分布等，可用对数正态分布改善其正态性。（2）使数据达到方差齐性，特别是各样本的标准差与均数成比例或变异系数CV接近于一个常数时。
2、平方根变换 即将原始数据X的平方根作为新的分布数据。
X’=sqrt（X）
平方根变换常用于：1）使服从Poission分布的计数资料或轻度偏态资料正态化，可用平方根变换使其正态化。2）当各样本的方差与均数呈正相关时，可使资料达到方差齐性。
3、倒数变换 即将原始数据X的倒数作为新的分析数据。
X’=1/X
常用于资料两端波动较大的资料，可使极端值的影响减小。
4、平方根反正旋变换 即将原始数据X的平方根反正玄值做为新的分析数据。
X’=sin-1sqrt（X）
常用于服从二项分布的率或百分比的资料。一般认为等总体率较小如＜30%时或较大（如＞70%时），偏离正态较为明显，通过样本率的平方根反正玄变换，可使资料接近正态分布，达到方差齐性的要求。
你可以根据自己的资料适当转化。另外，可以考虑其他分析方法，比如秩和检验。


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