典型相关分析

藤菜

    典型相关分析(Canonical Correlation)是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方 法.它能够揭示出两组变量之间的内在联系. 我们知道,在一元统计分析中,用相关系数来衡量两个随机变量之间的线性相关关系; 用复相关系数研究一个随机变量和多个随机变量的线性相关关系. 然而, 这些统计方法在研 究两组变量之间的相关关系时却无能为力. 比如要研究生理指标与训练指标的关系, 居民生 活环境与健康状况的关系,人口统计变量(户主年龄,家庭年收入,户主受教育程度)与消 费变量(每年去餐馆就餐的频率,每年出外看电影的频率)之间是否具有相关关系 阅读能 力变量(阅读速度,阅读才能)与数学运算能力变量(数学运算速度,数学运算才能)是否 相关 这些多变量间的相关性如何分析 典型相关分析的目的是识别并量化两组变量之间的联系,将两组变量相关关系的分析, 转化为一组变量的线性组合与另一组变量线性组合之间的相关关系分析. 目前,典型相关分析已被广泛应用于心理学,市场营销等领域,如用于研究个人性格与 职业兴趣的关系,市场促销活动与消费者响应之间的关系等.

    典型相关分析的基本思想
典型相关分析的基本思想和主成分分析非常相似. 首先在每组变量中找出变量的一个线 性组合, 使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数. 然后选取相关系数仅次于第一对线 性组合并且与第一对线性组合不相关的第二对线性组合, 如此继续下去, 直到两组变量之间 的相关性被提取完毕为止. 被选出的线性组合配对称为典型变量, 它们的相关系数称为典型 相关系数.典型相关系数度量了这两组变量之间联系的强度. 一般情况,设 X
(1) (1) (1) (2) (2) = ( X 1(1) , X 2 ,L , X p ) , X (2) = ( X 1(2) , X 2 ,L , X q ) 是两个相互关
联的随机向量,分别在两组变量中选取若干有代表性的综合变量 U i , Vi ,使得每一个综合 变量是原变量的线性组合,即
( (1) ( (1) U i = a1(i ) X 1(1) + a2i ) X 2 + L + aPi ) X P ( (2) ( (2) Vi = b1(i ) X 1(2) + b2i ) X 2 + L + bqi ) X qa (i )′ X (1)b (i )′ X (2)(1)
为了确保典型变量的唯一性, 我们只考虑方差为 1 的 X,X(2)(i ) (1) 的线性函数 a ′ X与b( i )′ X (2) , 求 使 得 它 们 相 关 系 数 达 到 最 大 的 这 一 组 . 若 存 在 常 向 量 a (1) , b(1) , 在(1) (1) (1) (2) D (a (1)′ X (1) ) = D(b(1)′ X (2) ) = 1 的条件下, 则 使得相关系数 ρ ( a ′ X , b ′ X ) 达到最大,(1) (2) (1) (1) (1) (2) 称 a ′ X ,b ′ X 是 X , X 的第一对典型相关变量,它们之间的相关系数就叫典型相关系数. 求出第一对典型相关变量之后, 可以类似的求出各对之间互不相关的第二对典型 相关变量,第三对典型相关变量,…….这些典型相关变量就反映了 X(1),X(2)之间的线性相关情况.这里值得注意的是,我们可以通过检验各对典型相关变量相关系数的显著性, 来反映每一对综合变量的代表性, 如果某一对的相关程度不显著, 那么这对变量就不具有代 表性,不具有代表性的变量就可以忽略.这样就可以通过对少数典型相关变量的研究,代替 原来两组变量之间的相关关系的研究,从而容易抓住问题的本质.